정규분포 꼴 적분

자려다가 생각나서 적어봤다. 어제 팀원 중 컨디션 적으라니까 이렇게 수식을 적고 있더라... 

-1 좀 그런데;;; e^(i*pi)로 바꾸시면 더 좋을텐데)

 
 첨에 이게 뭐지 하고 봤다. ln(e^4)나 i^4는 각 4,1이 뻔한데 앞의 적분 식이 특이하다.
 
나는 제임스 스튜어트 미적분학으로 독학했는데(바이올린 그려진 원서), 그 책에서 저 꼴은 일반적인 미분꼴이 아니라 초등함수로 적분 못한다고 배웠다. 하지만 답이 나왔다는건? 답이 있다는 거다. 
 
그래서 이렇게 끄적여봤다. 풀이과정이다.

Goodnotes

일단 적분 식을 I로 놓고, I^2을 해서 x^2+y^2=r^2 꼴로 만들고, 이중적분을 하는 문제로 바꾸었다. 거기서 직교좌표와 극좌표 개념이 나오는데, 극좌표에서 섹터꼴과 직교좌표의 직사각형꼴을 같다는 것을 Jacobian 계산을 통해(2차원은 det) 구할 수 있다. 
그래서 x*e^-(x^2) 꼴의 적분을 통해(a*e^(b*x^2)의 미분 형태이다.(a,b는 상수)) 답을 구하였다. 그 I^2이 pi이고, I는 sqrt(pi) 이다.
 
이 꼴을 확장하면 e^(ax^2)의 적분이 되는데, 그러면 간단한 치환 적분을 하면 sqrt(pi/a)가 된다.
 
이 형태는 정규분포형태와 똑같다. 

확통에 나오는 단골 종 모양 어린왕자

 
이렇게 보니까 모르겠지?

 이거랑 같은 내용이다. 
 
이 함수도 본질적으로 같은 형태다. z=(x-mu)/sigma로 놓으면  sigma* dx=dz 라서 앞의 상수와 역수가 적분이 된다. 즉, 전체 적분값은 1이 나온다! 즉, 넓이를 1로 만든 형태이다. 이것의 정적분은 Z 스코어 범위를 백분위로 바꾼 것이다. 아이큐 테스트 어쩌고 할 때 시그마 24, 15에 따라서 상위 몇프로가 달라지는데, 그런 것도 이 방식으로 0에서 해당 점수(z스코어)까지의 밑의 넓이를 구해서 0.5에서 빼면 된다.(아이큐 100 미만은 미안해... 넓이면 더해야 해) 가우스 이놈은 오일러마냥 여기저기 다 쓰고 다녔다. 저런 생각을 어떻게 하는거지;;; 이걸 통계학과 학생들은 다 외우고 다닌다고 할 때 이해가 안됐는데, 이제 나도 외우게 되었다.
 
-무한에서 무한까지 적분을 하였지만, 실제로는 퍼센타일을 구하려면 근사같은 방법을 써야할 것이다. 일반적인 적분 방법이 없기 때문이다. 어떤 미친(positive) 물리학 교수가 무인도에 떨어져도 테일러 급수만 알면 삼각함수표를 구할 수 있다던데, 테일러 스위프트도 아니고 그걸 생각할 정신머리가 있으려나. 정규분포표도 그렇게 구하겠지? 
 
 

 
이 분(김범준 교수) 유튜브도 구독했는데 일반인 기준에서 정상은 아니다 ㅋㅋㅋ 2개의 정규분포 합으로 보인다니 ㅋㅋ (아니 근데 확률 함수 위치 평행이동 해야하는 것 아닌가)  어린왕자 봐서 코끼리 삼킨 보아뱀이라고 안다는데, 정규분포도 배워서 아는거 아닌가? 하는 의문이??
 
풀이는 45분이 걸렸다. 요즘 유튜브에 인도인이 라이브로 도형 관련 중학교 수학 문제를 내던데 한국인인 내가 주입식 교육의 파워를 보여줬다.(사실 난 정규과정에서는 공부를 안했다. 공부 했으면 지금 이러고 있지 않겠지) 하라는 개발공부는 안하고 그런 것 암산해서 풀고 있으면 나름 재밌더라. 차라리 뭐 놀러다닐걸 하는 생각도 있지만 머리가 활성화된다는 변명을 해본다.
 
그래도 간만에 머리를 써서 풀렸다. 튜터님은 머리 쓰지 말고 10분 안에 안되면 오라고 하셨는데, 솔직히 그렇게 생각하지 않는 사람이 되고 싶지 않다. 좀 돌아가더라도 내가 충분히 생각하고 나서 검토가 필요할 때 가야겠다. 이제 좀 자야지;;; 주말에는 충분한 휴식 후 이제 다시 코딩을 해야겠다.